En êtes-vous certain ? Comprendre l’incertitude d’Heisenberg.

Mais qu’est-ce que c’est que ce truc ? Rassurez-vous je ne parlerai ni de ket, ni d’espace de Hilbert, ni même de vecteurs propres (quoique…).

Bien loin d’un chat mort-vivant (ça c’est Schrödinger), Heisenberg a réussi à montrer des choses inquiétantes. Certains l’interprètent comme une interdiction divine de tout savoir, alors que d’autres y voient une magnifique convergence entre les mathématiques et l’expérience physique.

Nos amis physiciens quanticiens (oui ce mot existe !) sont limités par une petite inégalité de rien du tout.

Pré-requis : Mouche Vs Mamie

Pour comprendre cela, il est nécessaire de savoir ce qu’est une quantité de mouvement (aussi appelée « impulsion ») :

– Imaginons une seconde qu’une mouche, dans sa course vers votre assiette, vole à 20 km/h (c’est-à-dire 5,6 m/s) et vous percute de plein fouet ! Rien de bien fou.

– Imaginons cette fois qu’une voiture roule à 20 km/h (oui c’est une personne âgée) et vous percute de plein fouet ! On fait moins le malin ?

Vous l’avez compris, entre les 20 mg de notre petit insecte et les 1000 kg de la voiture de mémé, ça change tout. Bon et bien la quantité de mouvement c’est simplement le produit de la vitesse (en m/s) et de la masse (en kg).

  • Pour la mouche : p = 0,000112 kg.m/s
  • Pour la voiture : p = 5600 kg.m/s

Et là on se rend compte que l’un des deux est bien plus violent que l’autre. Compris ? (pour ceux que ça intéresse, vous ressentirez l’énergie cinétique qui vaut p²/2m)

Et du coup, le Principe d’Heisenberg ?

2 points sont vraiment beaux dans le Principe d’Incertitude :

  1. Ce n’est pas un principe, mais une relation (puisque l’on peut le démontrer).
  2. Il démontre que nous sommes incapables d’avoir une haute précision sur deux grandeurs simultanément.

Rentrons dans les mathématiques assez brièvement.

2 x 3 = 6. Tout le monde est d’accord ?
3 x 2 = 6 aussi.
Donc 3 x 2 = 2 x 3.
On appelle ça « commuter », c’est à dire inverser l’ordre des grandeurs dans le calcul. Ici on inversait 3 et 2, ça ne changeait rien.

Malheureusement, ces grandeurs (dîtes scalaires) ont la fâcheuse habitude de donner de faux espoirs. Parce que pour bien comprendre quelque chose de petit (vraiment très très petit), il est nécessaire d’utiliser des Observables. Attention, quand je dis petit, il faut bien avoir en tête qu’un microbe c’est très gros, une goutte d’eau c’est immense, un électron c’est petit, un atome, c’est plutôt petit, une molécule c’est déjà limite. En gros, ce sont des matrices. Voila une matrice, prise au hasard :


Voila à quoi ressemble une matrice, prise au hasard. C’est une sorte de tableau, sur lequel on peut faire plein de calculs mathématiques.

Vous connaissiez “les chiffres” (de 0 à 9), les entiers (10, 11, 12, …). Et bien voila les matrices. Il s’agit d’un objet mathématique un peu plus complexe, mais très utilisé. Pour multiplier des matrices, il existe une méthode bien précise, mais qu’on n’expliquera pas ici.


Comme on peut multiplier “3” et “2” pour donner “6”, il est possible de multiplier 2 matrices entre elles pour donner une matrice résultante (vous noterez, pour les curieux/matheux que celle de gauche est appelée “élément neutre de la multiplication”, c’est l’équivalent du “1” dans les nombres que l’on utilise tous les jours, qui ne fait aucune modification quand on l’utilise pour multiplier).

Mais contrairement à des grandeurs scalaires (comme les chiffres 3 et 2 par exemple), les matrices ne sont pas commutables. Cela veut dire que si vous voulez multiplier 2 matrices entre elles, il faudra bien faire attention à l’ordre du calcul.

Disons que votre première matrice s’appelle X, et votre seconde matrice s’appelle P.Alors faire “X fois P” ne donnera pas le même résultat que “P fois X”. Ça peut paraître bizarre, parce qu’on a vu toute à l’heure que “3×2 = 2×3”. Mais ce qui vaut pour les chiffres ne vaut pas toujours pour les matrices.

Donc XP n’est pas égal à PX. Et ça, ça pose problème. En mécanique quantique, c’est directement visible sur l’ordre dans lequel vous prenez vos mesures. Ainsi dire “P fois X” revient à dire : “Je mesure P, puis je mesure X et je les multiplie dans cet ordre”.

D’ailleurs, vous noterez que votre système peut évoluer entre une mesure et une autre. Prenez par exemple l’écran de votre téléphone portable et essayez de mesurer sa surface. Il vous suffira de mesurer la longueur et la largeur de l’écran, et de les multiplier. Puisque l’écran ne bouge pas, le résultat sera toujours le même (il est dit déterministe).

Maintenant essayez de mesurer la surface de cheveux sur la tête de Psy dans son clip Gangnam Style, le tout sans appuyer sur pause. C’est bien plus complexe car le temps que vous fassiez une première mesure de longueur, le plan de la caméra aura changé et votre seconde mesure sera biaisée. C’est un peu ce qui se passe dans un calcul, lorsque des mesures ne commutent pas : en fonction de votre manière de calculer, vous trouverez des résultats différents.

Venons en au fait : le petit triangle s’appelle Delta, c’est une lettre grecque, elle désigne ici l’erreur que l’on commet dans la mesure. Ainsi « delta x » est l’erreur de position que vous alors que « delta p » est l’erreur de quantité de mouvement. On se rend compte mathématiquement et physiquement que :

La voici la fameuse formule !

Où le petit h surmonté d’une barre désigne la constante de Planck réduite, elle se lit « h barre ». Et ça, c’est le principe d’incertitude d’Heisenberg, ou plutôt le Théorème d’Indétermination d’Heisenberg.

Si vous voulez aller plus loin

– Cette inégalité est valable avec beaucoup de grandeurs complémentaires (position/impulsion, moment cinétique/position angulaire, moment cinétique selon un axe/moment cinétique selon un autre axe, temps/énergie, largeur spectrale/largeur temporelle d’une transformée de Fourier)

– En vulgarisant, on a tendance à entendre que la mesure va modifier le résultat de la prochaine mesure et donc qu’il devient impossible d’inverser les deux mesures. C’est faux. La preuve mathématique ne fait nullement mention de mesures. Cette inégalité est intrinsèque à la physique quantique.

– Albert Einstein s’y est beaucoup opposé, je vous invite à vous renseigner sur la controverse de Bohr-Einstein.

Démonstration à la main pour les curieux


Une démonstration possible, il en existe des plus mathématiques basées sur les transformées de Fourier

Pour aller plus loin :
Wikipédia

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